问题

昨天闲来无事，去听了菲尔兹奖得主Martin Hairer关于概率论的一个讲座。好在是面向公众性质的talk，大部分内容都比较轻松易懂，其中提出了一个非常有意思的问题：

有两个外表相同的信封，里面各装了一些钱，其中一个的钱数是另一个的两倍。现在你已经选择了其中一个信封，知道了里面的钱数为$X$，主持人给你一个重新选择的机会，请问你是否应该换信封？

我们来算一下数学期望。按照对称原则，在已知手上的信封有$X$元的情况下，另一个信封里面有1/2的概率是$2X$元，另外1/2的概率是$\frac12X$元，所以期望是$\frac54X$元，比你现在手上的$X$元多，所以应该要换！

看起来推导过程很合理，但是结论又很迷惑：既然你不管第一次怎么选，都应该换第二个来取得更高的数学期望，那为什么不一开始就选第二个呢？理论上来说，你得到的新信息只有手上信封里的钱数，不应该使得两个原本对称的信封发生不对称的现象。

对于矛盾的原因，讲座的幻灯片只写了"using the wrong mathematical model"。之后问答环节有同学问“您会怎么选”，他的回答是预先设定一个心理预期，如果第一次开出来的钱大于你认为主持人愿意肉疼付给你的数额那就收手。

可能的解释

经过同样去听了讲座的老师启发，我明白了这个矛盾的根源所在，确实是"using the wrong mathematical model"所致。原来根本不存在我们直观上认为的，满足$2X$和$\frac12X$概率各一半的概率测度！

举个可能更熟知的例子，即不存在定义在[0,1]所有子集上的，满足平移不变性的概率测度。这里也同理，我们可以论证，不存在定义在二维实平面第一象限的，满足$(X, \frac12X)$和$(X,2X)$"概率相同"的概率测度，此处“概率相同”需要仔细定义，毕竟一个点上的概率很可能为0。

那么我们假设这样的概率存在。一个直接推论是，区域$(0,1)\times(1,2)$和$(0,1)\times(\frac12,1)$的概率应当相同。同理继续往下除以2，可以得到一列越来越扁的长方形，每一个宽是之前的一半，但是他们的概率都相等。但是这一些长方形的并集是$(0,1)\times(0,2)$，利用概率测度的可数可加性，在此上的概率（有限）应当为无穷个相等概率的求和。若单个概率不为0则会矛盾，因此只能每个长方形概率均为0，可见这是一个恒零测度，并非概率测度！

既然我们无法定义满足$(X, \frac12X)$和$(X,2X)$"概率相同"的概率测度，那么只能舍弃这种主观上的对称性，转而定义其它的概率测度。例如我们可以认为主持人往里面塞1w以上的概率不大，这就是一个先验概率。当我们观察到第一个信封里的金额时，得到关于第二个信封金额分布的后验概率，从而做出选择。这种选择方法的思想，正如教授在问答环节中所说的“心理阈值”判断方式。