问题

刚刚写实变作业的时候一直受到一个奇怪想法的困扰。把[0,1]上的有理数排成一列，然后依次用长度为$\frac\epsilon{2^n}$的邻域覆盖它们，这样得到了一列开区间覆盖了[0,1]上的所有有理数，总长度为$\epsilon$。考虑到有理数在[0,1]上稠密，因此这些区间应该覆盖了整个[0,1]，结果我们使用了总长eps的区间覆盖了长度为1的区间，看起来就很矛盾。虽然有时候反类似的直觉的现象确实存在，比如可以建立一个从长度为0的Cantor集到长度为1的[0,1]区间的一一映射。但是这里用总长$\epsilon$的可数个小区间覆盖了[0,1]，违反了测度的可加性，所以绝对有问题。

原因

由于脑子比较迟钝，我过了好一会儿才反应过来上面推导的错误。问题在于有理数的稠密性并不能推出覆盖有理数的小区间就能覆盖所有无理数。对于某个无理数，尽管存在一列有理数逼近它，然而对应的小区间可能一直比离那个无理数的距离小，所以总是覆盖不了。

可见直觉有的时候还是靠不住。