定义

定义1: 单量子态$|\psi\rangle=a_0|0\rangle+a_1|1\rangle$，其中$|0\rangle=\binom{1}{0}$, $|1\rangle=\binom{0}{1}$, $|a_0|^2+|a_1|^2=1$.

定义2: 双量子态$|\Psi\rangle=a_{00}|00\rangle+a_{01}|01\rangle+a_{10}|10\rangle+a_{11}|11\rangle$, 其中$|00\rangle=|0\rangle\otimes|0\rangle$（其余三个同理）, $|a_{00}|^2+|a_{01}|^2+|a_{10}|^2+|a_{11}|^2=1$.

定义3: 如果$|\Psi\rangle$可以写成$|\psi\rangle\otimes|\phi\rangle$的形式，则称之为乘积态，否则称之为纠缠态；

解释

纠缠态存在性: 假设$|\psi\rangle=a_0|0\rangle+a_1|1\rangle$, $|\phi\rangle=b_0|0\rangle+b_1|1\rangle$, 则$|\psi\rangle\otimes|\phi\rangle=a_{0}b_0|00\rangle+a_{0}b_1|01\rangle+a_{1}b_0|10\rangle+a_{1}b_1|11\rangle$, 因此得到$a_{00}=a_0b_0$等四个方程，不难发现四个方程有解的充要条件是$a_{00}a_{11}=a_{10}a_{01}$, 除此以外的所有$|\Psi\rangle$均为纠缠态

映射解释: 上面的讨论说明，乘积态的坐标集合$S=\{(a_0b_0,a_0b_1,a_1b_0,a_1b_1)|a_0,b_0,a_1,b_1\in\mathbb{C}^4\}$不能映满$\mathbb{C}^4$, 实际上由条件$a_{00}a_{11}=a_{10}a_{01}$可见$S$应该是$\mathbb{C}^4$上的一个三维流形（我猜的），可见几乎所有坐标都对应纠缠态

张量积解释: $|\psi\rangle$和$|\phi\rangle$视作(1,0)形张量$V^*\to\mathbb{C}$, $|\Psi\rangle$视作(2,0)形张量$V^*\times V^*\to\mathbb{C}$, 乘积态由张量积得到，而纠缠态的存在表明了(2,0)形张量并非都能由两个(1,0)形张量乘积得到，也即$(W\times W)^*\not\cong W^*\otimes W^*$（实际上$(W\times W)^*\cong W^*\times W^*$，所以说把张量积定义中映射的乘积换成求和就满射了）