问题

求数列通项的特征方程法和求解一阶齐次常微分方程的特征方程解法有着完全一样的形式，他们背后是否有关联？

分析

首先用线性空间的理论，很容易得到这两个问题的解都构成n维线性空间，因此只需找一组基即可。对于数列情境，我们假设$a_n=k^n$是解，则很容易推出k是特征方程的根。微分方程情境下也是如此，只不过猜测的是$e^{kx}$。之后对于重根情形的处理都是用的求导方法得出其它解的形式，然后用（广义）范德蒙德行列式说明线性无关——推导步骤看起来完全一样。

可以考虑使用指数生成函数建立二者之间的联系。很容易发现，数列$\{a_n\}$的指数生成函数满足与递推式相同系数的微分方程。

另一个相似点在于，两个问题都可以有矩阵形式的解。很容易写出一个k阶递推数列矩阵形式通项，即特征多项式对应的基本块矩阵的n次幂乘以数列前k项初值的形式。而这与常系数线性微分方程的解矩阵$e^{Ax}$不谋而合。而为了具体计算它们，我们往往需要对A进行某种形式的对角化，这离不开计算A的特征值，这也许就是特征方程的根有时称作特征值的原因。