问题引入

记得刚开始学复变，看课本(复变函数简明教程)的时候，在第一节里面就看到这样一句话：(有删改)

任意复数z有关于复平面坐标的简单表示形式z=x+iy，但是反之x和y不能用z的表达式给出，事实上，我们以后将会证明，x和y不能用z的幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ 表示.

但实话说，我一学期下来，课本也算来来回回翻了一两遍了，也没在哪里找到这里所谓的"我们以后将会证明"，这不禁让我想起之前看抽代参考书时，里面写"此命题是x.x小节定理xx的简单推论"，但我回去盯着那定理看了老半天，愣是没发现这两者之间有啥关系，真可谓异曲同工。也许作者当时想着后面补上，结果编书的时候写着写着就忘了……

不过既然已经结课了，基本的知识也算是掌握了，那么缺的就是重新回忆起这句话。今天开小差的时候，这个命题突然浮现在脑海中，于是一个简单的证明就出来了：

命题及证明

命题: 设复数 $z=x+iy$ ($x,y\in \mathbb{R}$)，则x与y不能用z的幂级数形式表示

分析: 显然，如果x或者y能用z的幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$表示，其中$a_i\in\mathbb{C}$，则通过移项，另一个分量也可以用z的幂级数表示，因此我们用反证法证明如下：

证明: 假设x,y都可以用z的幂级数表示，设$x=f_1(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$，$y=f_2(z)=\sum_{n=0}^\infty b_nz^n$，则$g(z)=|z|^2=z\bar z$ 可以表示为$g(z)=f_1^2(z)+f_2^2(z)$，注意到上式对任意$z\in\mathbb{C}$成立，因此幂级数$f_1,f_2$的收敛半径为$\infin$，而且显然它们均不为常数，因此$g(z)$在$\mathbb{C}$上解析，但显然$g(z)=|z|^2$在任何一点都不解析，矛盾！$\blacksquare$

推论：利用完全一样的方法可见，x,y不能用任意关于z的解析函数表示