引言

记得去年数院公众号发的”数院脱单指南“里提到“不要做数院xgg讨厌的事”，其中有一条就是”认为有界闭集和紧集等价“，这让当时只学了两学期淑芬的我感到一头雾水——这两个难道不等价吗？！终于，在本学期学习了复变函数后，在其中一本参考书上，我终于了解了这些之前分不清的概念。

定义与定理

Definition1: （完备性）

度量空间$(X,d)$是完备的$\iff$柯西列收敛

Thm1: (Cantor’s Theorem)

A metric space $(X, d)$ is complete iff for any sequence $\{Fn\}$ of non-empty closed sets with $F\supset F2 \supset ...$ and diam $F_n\to0,\bigcap_{n=1}^\infin F_n$ consists of a single point.

完备$\iff$闭集间套定理

Prop1:

Let $(X,d)$ be a complete metric space and let $Y \sub X$. Then $(Y, d)$ is a complete metric space iff $Y$ is closed in $X$.

完备度量空间的子集：完备$\iff$闭

Definition2: （紧性）

度量空间$(X,d)$的子集$K$是紧的$\iff$任意开覆盖必有有限覆盖

Thm2：

$(X,d)$紧

$\iff$对任意$X$的具有有限交性质的闭子集族$\mathscr F$，$\bigcap\mathscr F\ne\empty$

$\iff$无穷子集有极限点

$\iff$序列紧(sequentially compact): 每个序列有收敛子列

$\iff$完备并且总体有界(total boundedness)

total boundedness：for every $\epsilon > 0$ there are a finite number of points $x_1, \dots,x_n\in X$ such that $X=\bigcup_{k=1}^nB(x_k;\epsilon)$

Prop2：

紧集 $\Longrightarrow$ 闭集

紧集的闭子集 $\Longrightarrow$ 紧集

总结

在初学淑芬时，迎面而来的就是实数完备性的理论，在那里，我们按照下面的顺序依次进行：

戴德金分割$\longrightarrow$确界存在定理(有界必有确界)$\longrightarrow$单调收敛原理$\longrightarrow$闭区间套定理$\longrightarrow$有限覆盖定理$\longrightarrow$聚点原理(极限点)$\longrightarrow$Bolzano-Weierstrass定理(有界序列有收敛子列)$\longrightarrow$柯西收敛准则

而且最后可以说明它们都是等价的（事实上实数的另外一种定义就是用柯西列定义的）

数分三讲了$\R^n$上的点集拓扑理论，就那些开集闭集完备紧之类的，不过也没有像上面一样具体分开哪些性质与完备相关，哪些性质和紧相关，而且因为$\R^n$上有紧$\iff$有界闭，所以我一直以为这两个等价。现在回看之前实数完备性理论，发现单调收敛、有限覆盖、聚点原理、Bolzano-Weierstrass定理都要求了有界，其中有限覆盖还要求了闭集，这正是有界闭集$\iff$紧集的体现。（其余几个定理没有要求闭是因为其结论说的是收敛到$\R$中的点，而不是子集中的点）

综上所述：

1. 完备性的定义是柯西列收敛，等价描述是闭集间套；

2. 紧性的定义是有限覆盖，等价描述是：

   • 有限交非空$\Longrightarrow$无限交非空

   • 聚点原理

   • 收敛子列

   • 完备且总体有界

3. 紧可以推出完备