问题

这几天概率论学到了相关系数，课本上列举了这样的命题：

$$\tag{1}\lvert{P(AB)-P(A)P(B)}\rvert\leq\frac14$$

课本上给出的证明利用的是相关系数介于$[-1,1]$的性质：

$$\begin{aligned} &\rho_{\textbf{1}_A\textbf{1}_B}=\frac{P(AB)-P(A)P(B)}{\sqrt{P(A)P(\overline A)P(B)P(\overline B)}} \in [-1,1],where \\ &P(A)P(\overline A)=P(A)(1-P(A))\le \frac14 \\ &P(B)P(\overline B)=P(B)(1-P(B))\le \frac14 \\ &Therefore,\quad(1)\ follows \end{aligned}$$

但显然这种证明一点都不直接，因为原式（1）只是关于$AB$两个事件概率的简单运算，按道理来说不需要引入相关系数这样的概念来辅助证明，所以一定有更直接的方法。

晚上思考、演算了许久，终于使用比较直接的方法证明出来了：

证明

如图所示，我们将AB两个事件用图形表示出来，并且记：

$$\begin{aligned} a&:=P(A\cap B)\\ b&:=P(A\backslash B)\\ c&:=P(B\backslash A)\\ \end{aligned}$$

由概率的可加性有：

$$\begin{aligned} P(A)&=a+b\\ P(B)&=a+c \end{aligned}$$

由概率的非负性和规范性得：

$$\begin{aligned} &0\le a,b,c\le 1 \\ &0\le a+b+c\le 1 \end{aligned}$$

回到原命题，现在我们只需要证明：

$$\lvert{a-(a+b)(a+c)}\rvert\le \frac14$$

绝对值里面等于$-a^2+(1-b-c)a-bc$，视作关于a的二次函数，最值只可能在$0,1$以及$\frac12(1-b-c)$上取到。三种情况的取值分别为：$bc$，$0$以及$\frac14(1+b^2+c^2-2b-2c-2bc)$.

第一种情况的限制条件为$0\le b+c\le 1$，很容易证明小于等于$\frac 14$；

最后一种情况的限制条件也为$0\le b+c\le 1$. 对于正的部分，注意到$b^2\le b$及$c^2\le c$即可得到原式$\le\frac14$；对于负的部分，注意到$b^2+c^2-2bc\ge0$即可得到原式$\ge-\frac14$.